基本概念、绘制法则

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4.1 根轨迹法的特点

根轨迹法，是三大分析校正方法之一，它的特点有：

图解，直观形象
研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势
近似方法，不十分准确

根轨迹是说：系统某一参数由 $0-\infty$ 变化时， $\lambda$ (闭环系统极点，即特征方程的根)在s平面相应变化所描绘出来的轨迹。

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一定是闭环的根轨迹，没有开环根轨迹、闭环根轨迹增益一说！

04:30：

例1：系统结构图如图所示，分析 $\lambda$ 随开环增益K的变化趋势。

解法

先写出开环传递函数尾1标准型，在根轨迹法中，习惯把传递函数写成首1标准型。

G(s)=\frac{K}{s(0.5s+1)}=\frac{K* = 2K}{s(s+2)}

尾1标准型（开环传递函数）时，K为开环增益；为标准型（闭环传递函数）时，K为闭环增益；

但是，根轨迹增益仅对开环传递函数而言。化为首1标准型时，K*为根轨迹增益。

这时你会想，诶，那如果把闭环传递函数化为首1标准型，那这个增益不就叫闭环根轨迹增益吗？不是的，没有这么一说。根轨迹增益只对开环而言。

而且根轨迹增益只在根轨迹法研究的过程中用它。

现在要研究闭环极点随着K*从0到无穷的变化，等价于K从0到无穷的变化。

首先写出闭环传递函数，写出特征多项式，让其等于0。得到特征方程。解这个二次方程，得到06:45的结果。

\Phi = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K^{*}}{s^2+2s+K^{*}}

D(s) = s^2+2s+K^{*} = 0

解得：

\lambda = -1±\sqrt{1-K^{*}}

画出s平面。标出开环极点。

所以，在 $K^{*}$ 从0到1变化时， $\lambda$ 是互异单根，呈现出过阻尼的状态，所以此区间系统动态性能： $\xi>1$ , $\sigma\%=0$ , $t_s\downarrow$ ，。

在 $K^{*}$ 从1到 $\infty$ 变化时， $\lambda$ 是共轭复根，系统进入欠阻尼状态，所以此区间系统动态性能： $0<\xi<1$ , $\beta \uparrow \rightarrow \xi \downarrow \rightarrow \sigma\% \uparrow$ , $t_s=\frac{3.5}{\xi \omega_n}$ 基本不变。