随机变量及其分布

随机变量的定义

随机变量（Random variable）：设随机试验E的样本空间为$S=\{e\}$，$X=X(e)$是定义在样本空间$S$上的实值单值函数，则$X$是随机变量。

提示

约定：用X,Y,Z,W表示随机变量，x,y,z,w表示实数

并且，用一种更通俗的方式说明随机变量：随机变量是将随机试验的每个可能结果对应到一个实数的函数，实现了随机现象的数学化描述。

伯努利试验

伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。

举例：

• 抛硬币：抛掷一枚均匀的硬币，结果只有"正面"或"反面"两种可能。连续抛掷n次就是n重伯努利试验。
• 产品检验：从一批产品中随机抽取一件进行检验，结果只有"合格"或"不合格"两种。重复抽取n次（有放回）即为n重伯努利试验。
• 投篮：篮球运动员投篮，每次投篮的结果只有"命中"或"不命中"两种。连续投篮n次构成n重伯努利试验。
• 出生性别：每个新生儿的性别只有"男"或"女"两种可能（简化模型）。观察n个新生儿的性别构成n重伯努利试验。
• 开关状态：检查一个开关的状态，只有"开"或"关"两种可能。重复检查n次即为n重伯努利试验。

二项分布

二项分布（Binomial Distribution）是描述n重伯努利试验中成功次数X的概率分布。如果在每次试验中，事件A发生的概率为p（0 < p < 1），不发生的概率为q = 1-p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：

$$P(X = k) = C(n,k) · p^k · q^(n-k)$$

其中：$C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)$ 是组合数，表示从n次试验中选出k次成功的方式数; $k = 0, 1, 2, ..., n$,$p$为单次试验成功的概率; $q = 1-p$为单次试验失败的概率

记为：$X ~ B(n, p)$ 或 $X ~ Bin(n,p)$。

数学特征:

• 期望值：$E(X) = np$
• 方差：$Var(X) = npq$
• 标准差：$σ = \sqrt{(npq)}$

提示

应用举例:

1. 某工厂产品合格率为95%，随机抽取10件产品. 求恰有8件合格的概率：$P(X=8) = C(10,8) × 0.95^8 × 0.05^2 ≈ 0.0746$

2. 某种药物的有效率为80%，对15名患者进行治疗. 求至少12名患者有效的概率：$P(X≥12) = Σ(k=12 to 15) C(15,k) × 0.8^k × 0.2^(15-k)$