一元函数积分学

1. 极值与最值的概念

定义1 若存在 $x_0$ 的某个邻域，使得在该邻域内任意一点 $x$，均有

$$f(x) \leq f(x_0) (\text{或 } f(x) \geq f(x_0))$$

成立，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的 广义的极大值点（或 极小值点），$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的 广义的极大值（或 极小值）。

定义2 若存在 $x_0$ 的某个去心邻域，使得对于该邻域内任一异于 $x_0$ 的点 $x$，均有

$$f(x) < f(x_0) (\text{或 } f(x) > f(x_0))$$

成立，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的 真正的极大值点（或 极小值点），$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的 真正的极大值（或 极小值）。

tip

若在上述定义2中把去心邻域改为邻域，则当然有 $f(x) \leq f(x_0)$，但这个等号指的是仅在 $x = x_0$ 处取到，这一点是与定义1（广义的极值）的一个主要区别，请注意区分。

定义3 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 定义域内一点，若对于 $f(x)$ 的定义域内任意一点 $x$，均有

$$f(x) \leq f(x_0) (\text{或 } f(x) \geq f(x_0))$$

成立，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的 广义的最大值（或 最小值）。

定义4 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 定义域内一点，若对于 $f(x)$ 的定义域内任一异于 $x_0$ 的点 $x$，均有

$$f(x) < f(x_0) (\text{或 } f(x) > f(x_0))$$

成立，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的 真正的最大值（或 最小值）。