一元函数微分学

1. 基本概念

1.1 导数的概念

设 $y = f(x)$ 定义在区间 $I$ 上，让自变量在 $x = x_0$ 处加一个增量 $\Delta x$（可正可负），其中 $x_0 \in I, x_0 + \Delta x \in I$，则可得函数的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。若函数增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 的比值在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，即 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$，即

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

当然，$\frac{dy}{dx} \big|_{x=x_0} = \frac{d[f(x)]}{dx} \big|_{x=x_0} = y'(x_0)$ 或 $y' \big|_{x=x_0}$。这些符号记法与 $f'(x_0)$ 等价。

1.2 微分的概念

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0 + \Delta x$ 在该邻域内，对于函数增量

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0),$$

若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得

$$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x),$$

其中 $o(\Delta x)$ 是在 $\Delta x \to 0$ 时比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，并称 $A\Delta x$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 微分，记作

$$dy \bigg|_{x=x_0} = A\Delta x$$

或者

$$d[f(x)] \bigg|_{x=x_0} = A\Delta x.$$

又由于 $\Delta x = 1 \cdot \Delta x + 0$，于是一元函数微分学中规定 $\Delta x = dx$，故

$$dy \bigg|_{x=x_0} = A dx.$$

info

（1）可微的判别:

①写增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$;

②写线性增量 $A\Delta x = f'(x_0)\Delta x$;

③作极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x}$。

若该极限等于0，则 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，否则不可微。

（2）从上述判别步骤可以看出，用形式简单的“线性增量 $A\Delta x$”去代替形式复杂的“增量 $\Delta y$”，且其误差“$\Delta y - A\Delta x$”是 $o(\Delta x)$，这就是说，用“简单的量”代替了“复杂的量”，且产生的误差又可以忽略不计，这就是可微的含义。

（3）由于“$f(x)$在点 $x_0$ 处可微”与“$f(x)$在点 $x_0$ 处可导”互为充要条件，因此判别 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处是否可微可以转化为判别其在点 $x_0$ 处是否可导，这样的话考生会比较熟悉。

（4）可微的几何意义:

若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，则在点 $(x_0, y_0)$ 附近可以用切线段近似代替曲线段，这是可微的几何意义。

2. 导数与微分的计算

2.1 四则运算

若以下函数均可导，则：

和、差的导数（微分）

$$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$$$$d[u(x) \pm v(x)] = d[u(x)] \pm d[v(x)]$$

积的导数（微分）

$$[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$$$$$

---

【注】

$$[u(x)v(x)w(x)]' = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x)$$

如果遇到因式超过三个的式子，一般不要直接求导，而要另谋他法。

---

商的导数（微分）

$$\frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}, v(x) \neq 0$$$$d\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{v(x)d[u(x)] - u(x)d[v(x)]}{[v(x)]^2}, v(x) \neq 0$$

2.2 分段函数的导数

设

$$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \geq x_0, \\ f_2(x), & x < x_0, \end{cases}$$

其中 $f_1(x), f_2(x)$ 可导，则①在分段点 $x_0$ 处用导数定义求导：$f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f_1(x) - f(x_0)}{x - x_0}, f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f_2(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$ 根据 $f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$ 来判定 $f'(x_0);$ ②在非分段点用导数公式求导，即 $x > x_0$ 时，$f'(x) = f'_+(x); x < x_0$ 时，$f'(x) = f'_-(x).$

2.3 复合函数的导数与微分形式不变性

设 $u = g(x)$ 在点 $x$ (没有下标是泛指的点，下同) 处可导，$y = f(u)$ 在点 $u = g(x)$ 处可导，则

$$\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]g'(x),$$$$d\{f[g(x)]\} = f'[g(x)]g'(x)dx = f'[g(x)]d[g(x)].$$

上式就是微分形式的不变性——无论 $u$ 是中间变量还是自变量，$dy = f'(u)du$ 都成立。

warning

$$\{f[g(x)]\}' = \frac{d\{f[g(x)]\}}{dx},$$

而

$$f'[g(x)] = \frac{d\{f[g(x)]\}}{d[g(x)]},$$

要看清楚求导符号的位置，不要弄错了。

2.4 反函数的导数

设 $y = f(x)$ 可导，且 $f'(x) \neq 0$，则存在反函数 $x = \varphi(y)$，且

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}},$$

即

$$\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}.$$

2.5 参数方程所确定的函数的导数

设函数 $y = y(x)$ 由参数方程

$$\begin{cases} x = \varphi(t), \\ y = \psi(t) \end{cases}$$

确定，其中 $t$ 是参数，且 $\varphi(t), \psi(t)$ 均对 $t$ 可导，$\varphi'(t) \neq 0$，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.$$

2.6 隐函数求导法

设函数 $y = y(x)$ 是由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的可导函数，则：

①方程 $F(x, y) = 0$ 两边对自变量 $x$ 求导，注意 $y = y(x)$，即将 $y$ 看作中间变量，得到一个关于 $y'$ 的方程；

②解该方程便可求出 $y'$。

2.7 对数求导法

对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导。设 $y = f(x)\;(f(x) > 0)$，则

①等式两边取对数，得 $\ln y = \ln f(x)$;

②两边对自变量 $x$ 求导(同样注意 $y = f(x)$，即将 $y$ 看作中间变量)，得

$$\frac{1}{y}y' = [\ln f(x)]' \Rightarrow y' = \frac{y f'(x)}{f(x)}.$$

2.8 幂指函数求导法

对于 $u(x)^{v(x)}\;(u(x) > 0)$，且 $u(x)$ 不恒为 1，除了用上面的对数求导法外，还可以先化成指数函数

$$u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)},$$

然后求导。

2.9 高阶导数

求高阶导数主要有三种方法。

1. 用归纳法
   逐次求导，探索规律，得出通式。
   比如，设 $y = 2^x$，则

   $$y' = 2^x \ln 2, \quad y'' = 2^x (\ln 2)^2, \quad \cdots$$

   得出通式

   $$y^{(n)} = 2^x (\ln 2)^n, \quad n = 0, 1, 2, \cdots$$

2. 用高阶求导公式
   设 $u = u(x), v = v(x)$，均 $n$ 阶可导，则

   $$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)},$$ $$(uv)^{(n)} = u^{(n)}v + C_n^1 u^{(n-1)}v' + C_n^2 u^{(n-2)}v'' + \cdots + C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} + \cdots + C_n^{n-1} u'v^{(n-1)} + uv^{(n)}$$ $$= \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}.$$

   (4-7)式就是求函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，其中 $u^{(0)} = u, v^{(0)} = v$。
   见到两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼茨公式即可。

3. 用泰勒公式
   先写出 $y = f(x)$ 的泰勒公式或者麦克劳林公式，再通过比较系数来获得 $f^{(n)}(x_0)$。具体说来，一般步骤如下。

   ① 任何一个无穷阶可导的函数（在收敛的条件下）都可写成

   $$y = f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n,$$

   或者

   $$y = f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$$

   ② 题目给出一个具体的无穷阶可导函数 $y = f(x)$，可以通过已知公式展开成幂级数。这些已知公式为

   (i)

   $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty.$$

   (ii)

   $$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots, \quad -1 < x < 1.$$

   (iii)

   $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots, \quad -1 < x < 1.$$

   (iv)

   $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots, \quad -1 < x \leq 1.$$

   (v)

   $$\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty.$$

   (vi)

   $$\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty.$$

   (vii)

   $$(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + \cdots,$$ $$\begin{cases} x \in (-1, 1), & \text{当 } a \leq -1, \\ x \in (-1, 1], & \text{当 } -1 < a < 0, \\ x \in [-1, 1], & \text{当 } a > 0 \text{ 且 } a \notin \mathbb{N}_+, \\ x \in \mathbb{R}, & \text{当 } a \in \mathbb{N}_+. \end{cases}$$

   ③根据函数展开式的唯一性，比较①、②中 $(x-x_0)^n$ 或 $x^n$ 的系数，就可以获得 $f^{(n)}(x_0)$ 或者 $f^{(n)}(0)$。

tip

除上述情形，下面两个内容也是很重要的。

(1) 由参数方程确定的函数的二阶导数。

设函数 $y = y(x)$ 由参数方程

$$\begin{cases} x = \varphi(t), \\ y = \psi(t) \end{cases}$$

确定，其中 $t$ 是参数。且 $\varphi(t), \psi(t)$ 均二阶可导，$\varphi'(t) \neq 0$，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{x_y}\right)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x_y}\right)} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{x_y}\right)}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}.$$

(2) 反函数的二阶导数。

在 $y = f(x)$ 单调，且二阶可导的情况下，若 $f'(x) \neq 0$，则存在反函数 $x = \varphi(y)$，记 $f'(x) = y'$，$\varphi'(y) = x'$，则有

$$y_x' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{x_y}, \quad y_{xx}'' = \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x_y}\right) = -\frac{1}{x_y^2} = -\frac{x_y''}{(x_y')^3}.$$

反过来，则有

$$x_y' = \frac{1}{y_x}, \quad x_{yy}'' = -\frac{y_{xx}''}{(y_x')^3}.$$

2.9 变限积分求导公式

设 $F(x) = \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) \, dt$，其中 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，可导函数 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 的值域在 $[a, b]$ 上，则在函数 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 的公共定义域上，有

$$F'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) \, dt\right] = f\left[\varphi_2(x)\right]\varphi_2'(x) - f\left[\varphi_1(x)\right]\varphi_1'(x).$$

2.10 基本求导公式

$$(x^a)' = ax^{a-1} \quad (a\text{为常数}), \quad (a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1), \quad (e^x)' = e^x,$$$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1), \quad (\ln |x|)' = \frac{1}{x}, \quad (\sin x)' = \cos x,$$$$(\cos x)' = -\sin x, \quad (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$$$(\tan x)' = \sec^2 x, \quad (\cot x)' = -\csc^2 x, \quad (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2},$$$$(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}, \quad (\sec x)' = \sec x \tan x, \quad (\csc x)' = -\csc x \cot x,$$$$\left[ \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \right]' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \quad \left[ \ln(x + \sqrt{x^2-1}) \right]' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.$$

有用的推论

1. $f(x)$ 是可导的偶函数，则 $f'(x)$ 是奇函数；
2. $f(x)$ 是可导的奇函数，则 $f'(x)$ 是偶函数。
3. 若 $f(x)$ 是可导的周期为 $T$ 的周期函数，则 $f'(x)$ 也是以 $T$ 为周期的周期函数。