微分中值定理

1. 微分中值定理

1.1 费马引理

$f(x)$在$x_0$的邻域$U(x_0)$有定义，并且$x_0$处可导，对$\forall x\in U(x_0)$，有：

$$f(x)≤f(x_0)$$

或

$$f(x)≥f(x_0)$$

那么$f'(x_0)=0$.

推论：函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

在这里，f(x_0)其实是个极大值。

可以用python画出示意图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数 f(x)
def f(x):
    return - (x - 2)**2 + 4

# 生成 x 数据
x = np.linspace(0, 4, 400)
y = f(x)

# 绘制函数图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = -(x - 2)^2 + 4$', color='blue')

# 标记极值点
x0 = 2
y0 = f(x0)
plt.plot(x0, y0, 'ro')  # 极值点
plt.text(x0, y0 + 0.5, '$x_0$', fontsize=12, ha='center')

# 绘制切线（导数为零）
plt.axhline(y0, color='gray', linestyle='--')

# 设置图形属性
plt.title('示意图：费马引理')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

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试证明费马引理.

答案

对于$x\in U(x_0)$, $f(x)\leq f(x_0)$, 有很小的$\Delta x$使得$x_0+\Delta x \in U(x_0), f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)$

要想证明$f'(x_0)=0$，可以研究$f'(x_0)$的定义。

$$f'_{-}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \geq 0$$$$f'_{+}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \leq 0$$

在$x_0$处可导代表着左右可导，所以上面两个式子成立的时候也就只能是他们相等的时候。

故$f'(x_0)=0$.

驻点：导数为0的点。但是它可能不是最大值也不是最小值点。

1.2 罗尔定理

$f(x)$满足：

1. 在[a,b]连续
2. 在(a,b)内可导
3. $f(a)=f(b)$，则至少$\exists x_0\in(a,b), f'(x_0)=0$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数 f(x)
def f(x):
    return (x - 1)**2 - 1  # 选择一个简单的二次函数

# 生成 x 数据
x = np.linspace(-2, 4, 400)
y = f(x)

# 绘制函数图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = (x - 1)^2 - 1$', color='blue')

# 标记端点 a 和 b
a, b = 0, 2
fa, fb = f(a), f(b)
plt.plot(a, fa, 'ro', label='$f(a) = f(b)$')
plt.plot(b, fb, 'ro')

# 标记极值点 x0
x0 = 1
y0 = f(x0)
plt.plot(x0, y0, 'go')  # 极值点
plt.text(x0, y0 + 0.5, '$x_0$', fontsize=12, ha='center')

# 绘制切线（导数为零）
plt.axhline(y0, color='gray', linestyle='--')

# 设置图形属性
plt.title('示意图：罗尔定理')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

1.3 拉格朗日中值定理

$f(x)$满足：

1. 在[a,b]连续
2. 在(a,b)内可导
3. $f(a)=f(b)$，则至少$\exists x_0\in(a,b), f'(x_0)(b-a)=f(b)-f(a)$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数 f(x)
def f(x):
    return np.sin(x)  # 选择一个简单的正弦函数

# 生成 x 数据
x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)
y = f(x)

# 端点
a, b = 0, 2 * np.pi
fa, fb = f(a), f(b)

# 找到导数为零的点
from scipy.optimize import minimize_scalar

def neg_f_prime(x):
    return -np.cos(x)  # 负导数

result = minimize_scalar(neg_f_prime, bounds=(a, b), method='bounded')
x0 = result.x
y0 = f(x0)

# 绘制函数图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = \sin(x)$', color='blue')

# 标记端点 a 和 b
plt.plot(a, fa, 'ro', label='$f(a) = f(b)$')
plt.plot(b, fb, 'ro')

# 标记导数为零的点 x0
plt.plot(x0, y0, 'go')  # 极值点
plt.text(x0, y0 + 0.5, '$x_0$', fontsize=12, ha='center')

# 绘制切线（导数为零）
plt.axhline(y0, color='gray', linestyle='--')

# 设置图形属性
plt.title('Lagrange mean value theorem')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

要想证明拉格朗日中值定理，可以做一个线性替换.也就是替换坐标系.

定理：$f(x)$在区间I上连续，I内可导且导数恒为0，$f(x)=C$

证明：$\forall x_1,x_2. \delta \in (x_1,x_2)$

$$f(x_1)-f(x_2) = f'(\delta)(x_1-x_2) = 0$$$$f(x_1) = f(x_2), f(x) = C$$

1.4 柯西中值定理

$$\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\phi(t) \end{cases}$$$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\phi'(t)}{\varphi'(t)}$$

使$t = \delta$，至少有一点$\delta(a<\delta<b)$

$$\frac{\phi'(\delta)}{\varphi'(\delta)} = \frac{\phi(b)-\phi(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}$$

柯西中值定理：若$f(x)$和$F(x)$

1. [a,b]连续
2. 在(a,b)内可导
3. $\forall x \in (a,b)$，$F'(x) \neq 0$

则至少$\exists \delta \in(a,b)$,

$$\frac{f'(\delta)}{F'(\delta)}=\frac{f(b)-f(a)}{F(a)-F(b)}$$

柯西中值定理相较来说更加一般.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数 f(x) 和 g(x)
def f(x):
    return np.sin(x)

def g(x):
    return x

# 生成 x 数据
x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)
y_f = f(x)
y_g = g(x)

# 端点
a, b = 0, 2 * np.pi
fa, fb = f(a), f(b)
ga, gb = g(a), g(b)

# 找到导数比值符合柯西中值定理的点
from scipy.optimize import minimize_scalar

def mean_value_condition(x):
    return (np.cos(x) / 1) - (fb - fa) / (gb - ga)

result = minimize_scalar(mean_value_condition, bounds=(a, b), method='bounded')
x0 = result.x
y0_f = f(x0)
y0_g = g(x0)

# 绘制函数图像
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 绘制 f(x) 和 g(x)
plt.plot(x, y_f, label='$f(x) = \sin(x)$', color='blue')
plt.plot(x, y_g, label='$g(x) = x$', color='red')

# 标记端点 a 和 b
plt.plot(a, fa, 'bo', label='$f(a)$, $g(a)$')
plt.plot(b, fb, 'bo')
plt.plot(a, ga, 'ro')
plt.plot(b, gb, 'ro')

# 标记点 x0
plt.plot(x0, y0_f, 'go')  # 对应 f(x)
plt.plot(x0, y0_g, 'go')  # 对应 g(x)
plt.text(x0, y0_f + 0.5, '$x_0$', fontsize=12, ha='center')

# 绘制导数比值的条件
plt.axhline(y=f(x0) / g(x0), color='gray', linestyle='--')

# 设置图形属性
plt.title('示意图：柯西中值定理')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$ 和 $g(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

2. 洛必达法则

洛必达法则是用于计算形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定式极限的重要方法。

我们将给出0/0型和无穷/无穷型的证明：

2.1 0/0型洛必达法则

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
2. 在点 $a$ 的某个去心邻域内，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 都存在且 $g'(x) \neq 0$
3. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）

则有：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

推导过程：

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{如果 } x \neq a \\ 0 & \text{如果 } x = a \end{cases} \quad G(x) = \begin{cases} g(x) & \text{如果 } x \neq a \\ 0 & \text{如果 } x = a \end{cases}$$$$\frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{F'(c)}{G'(c)}$$

其中 $c$ 在 $a$ 和 $x$ 之间。

代入得：

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

取极限：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

2.2 ∞/∞型洛必达法则

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty$
2. 在点 $a$ 的某个去心邻域内，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 都存在且 $g'(x) \neq 0$
3. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）

则有：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

推导过程：

无穷不太直观，我们先转换为0/0型：

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1/g(x)}{1/f(x)}$$

令：

$$F(x) = \frac{1}{g(x)}, \quad G(x) = \frac{1}{f(x)}$$$$\lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \to a} \frac{F'(x)}{G'(x)}$$

计算导数：

$$F'(x) = -\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad G'(x) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$$

代入得：

$$\frac{F'(x)}{G'(x)} = \frac{g'(x)}{f'(x)} \cdot \frac{[f(x)]^2}{[g(x)]^2}$$$$\lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

因此：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \left[ \frac{g'(x)}{f'(x)} \cdot \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^2 \right] \tag{1}$$

设：

$$L = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

从等式(1)得：

$$L = L^2 \cdot \lim_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)}$$

整理得：

$$1 = L \cdot \lim_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)}$$

因此：

$$L = \frac{1}{\lim\limits_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)}} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

3. 泰勒定理

定理：

$f(x)$表示成$x-x_0$的$n$次多项式+$R_n(x)$，$f(x) = f(x_0)+f'(x_0)$

$$f(x) = f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$

拉格朗日型余项：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} + \cdots$$$$|R_n(x)| \leq \frac{M|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!} x \rightarrow x_0$$

马克劳林公式：

$$f(x)=f(0)+f'(0)(x) + \frac{f''(0)}{2!}(x)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(0)^n$$

$f(x)=e^x$，$n$阶马克劳林公式：

$$f'(x) = f''(x) = \cdots = f^{(n)}(x) = e^x$$$$f'(0) = f''(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = e^0 = 1$$$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$

tip

$f(x)=sinx$, $sinx = x - \frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots + \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1}+R_{2m}x$

4. 函数的单调性和曲线的凹凸性

函数 $y = f(x)$ 在区间上的单调性与其导数符号有密切关系：

• 如果函数在 $[a,b]$ 上单调增加，图形沿 $x$ 轴正向上升，切线斜率非负：$f'(x) \geq 0$
• 如果函数在 $[a,b]$ 上单调减少，图形沿 $x$ 轴正向下降，切线斜率非正：$f'(x) \leq 0$

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。在 $[a,b]$ 上任取两点 $x_1, x_2$（其中 $x_1 < x_2$），应用拉格朗日中值定理：

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \quad (x_1 < \xi < x_2)$$

由于 $x_2 - x_1 > 0$，函数值差 $f(x_2) - f(x_1)$ 的符号完全由 $f'(\xi)$ 的符号决定。

如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x) > 0$，则 $f'(\xi) > 0$，于是：

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) > 0$$

即：

$$f(x_1) < f(x_2)$$

这表明函数 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加。

如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x) < 0$，则 $f'(\xi) < 0$，于是：

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) < 0$$

即：

$$f(x_1) > f(x_2)$$

这表明函数 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。

5. 函数的极值与最大值最小值

6. 函数图形的描绘

7. 曲率