克拉克变换与帕克变换

1. 什么是克拉克变换

MOS管一旦启动，就要至少控制两相电流，这很麻烦吧！有没有什么办法可以只控制一相电流？

有的兄弟，有的。好在三相电压是有几何关系的。我们可以把三相电压变换成两相电压。这就是克拉克变换。

克拉克变换是一个降维的过程。把三相电压转换到坐标系上面去，变成两维矢量。这里用到的变换工具就是三角函数。

相位差有120°，那么这三相电流可以抽象为相隔120°的矢量，用矢量表示后进行降维，投影到坐标轴上表示出来就可以表示为$\alpha$和$\beta$轴上的数值变化。

2. 克拉克变换推导

这是一个非常简单的推导过程。

2.1 投影

对α-β坐标系中α轴，有：

$$I_{\alpha} = i_a + (-sin30°)i_b + (-cos60°)i_c$$

即：

$$I_{\alpha} = i_a-\frac{1}{2}i_b -\frac{1}{2}i_c$$

对α-β坐标系中β轴，有：

$$I_{\beta} = cos30°i_b - cos30°i_c$$

即：

$$I_{\beta} = \frac{\sqrt{3}}{2}i_b - \frac{\sqrt{3}}{2}i_c$$

转换为矩阵形式：

$$\begin{bmatrix} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & - -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix}$$

2.2 等幅值和等功率处理

真实的情况比这个要复杂一丢丢，根据基尔霍夫电流定律，对三相电流（星形接法）中心点，有：

$$i_a+i_b+i_c=0$$

若设$i_a$为-1，有$i_b=i_c=-\frac{1}{2}$ ，代入到直接投影式子中，最终得到矩阵：$\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

所以，从A相输入1A电流，实际上还是$\frac{3}{2}$。为了把它变回去，我们需要乘上$\frac{2}{3}$做一次等幅值变换。最终得到矩阵： $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

基于等幅值变换，我们就能够得到α、β相位与ia,ib​,ic​的关系，已知等幅值变换式：

$$\begin{bmatrix} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & - -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix}$$

移项得：

$$I_a = \frac{2}{3}(i_a - \frac{1}{2}i_b - \frac{1}{2}i_c)$$$$I_a = \frac{2}{3}(i_a - \frac{1}{2}(i_b+i_c))$$

根据：

$$i_a+i_b+i_c=0$$

最终可得：

$$I_{\alpha} = i_a$$

进一步可得：

$$I_\beta = \frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}i_b - \frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}i_c = \frac{\sqrt{3}}{3}i_b - \frac{\sqrt{3}}{3}i_c$$

根据：

$$i_a+i_b+i_c=0$$

最终可得：

$$I_\beta = \frac{1}{\sqrt{3}}(2*i_b+i_a)$$

这样就省去了一路电流传感器。

3. 克拉克逆变换

我们可以升维获得三相电流。

具体可以自己推导一下。这里只说结果：

$$i_a = I_a$$$$i_b = \frac{\sqrt{3}I_\beta - I_{\alpha}}{2}$$$$i_c = \frac{-\sqrt{3}I_\beta - I_{\alpha}}{2}$$

4. 帕克变换

现在我们已经掌握了定子上电流的变换，但是距离能够控制电机旋转还缺少一个完整的模型。

我们需要一个能够求得各种旋转情况下的Iα​和Iβ的方法。什么意思呢？发力的肯定是转子，那么我们需要的力矩肯定是转子的力矩，所以就需要把转子的力矩和电流联系起来。力矩又和转角有关系，所以这就是切入口。我们需要把电流和转子的转角联系起来。

这样一来就有了帕克变换。事实上帕克变换的思想也非常简单巧妙，你不好表述转动，那么我再多加一个坐标系，这个坐标系和转子固联，称之为$I_q - I_d$坐标系，将两个坐标系放在一起看，

由于$I_q - I_d$坐标系随转子转动，所以$I_q - I_d$坐标系因转动而造成的与$Iα−Iβ$​坐标系的差角$θ$称为电角度。

得矩阵：

$$\begin{bmatrix} i_{d} \\ i_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix}$$

求逆后，Iα​和Iβ:

$$\begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} i_{d} \\ i_q \end{bmatrix}$$

写成等式：

$$i_\alpha = cos\theta i_{d} - sin\theta i_q i_\beta = sin\theta i_{d} + cos\theta i_q$$

电角度$\theta$可以由编码器读出。如果你想要把$i_q$和$i_d$合成为一个矢量，也是可以的，这样就是一个旋转的矢量。进而分解之后得到$i_q$和$i_d$。有了这两个分量又可以得到$I_\alpha$和$I_\beta$。然后升维之后也可以得到$i_a$和$i_b$和$i_c$。这样就是一个完整的正逆变换过程。

PS: 对于电压，变换同样适用，它与电流的不同之处说白了只是乘上相电阻的不同而已。

References

[1]. DengFOC.灯哥教你写FOC算法系列：无刷电机的FOC软件控制原理[EB/OL](2023-06-22)[2025-09-10].https://dengfoc.com/#/dengfoc/%E7%81%AF%E5%93%A5%E6%89%8B%E6%8A%8A%E6%89%8B%E6%95%99%E4%BD%A0%E5%86%99FOC%E7%AE%97%E6%B3%95/3.3%E5%B8%95%E5%85%8B%E5%8F%98%E6%8D%A2