电磁理论

1.1 微波工程简介

微波工程（Microwave Engineering）是研究频率在 3 GHz 至 300 GHz 范围内电磁波（即“微波”）的产生、传输、控制、辐射与接收的一门工程学科。

这里要说明：通常意义上所指有电磁辐射特性的电磁波是指无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线。而X射线及γ射线通常被认为是放射性的辐射。

射频和微波，通常是指频率从100MHz到1000GHz之间的交变电流信号。其中射频的频率范围是从甚高频(VHF，30-300MHz)到超高频(UHF,300MHz-3000MHz)。而微波的频率范围是从3GHz到300GHz。对应的波长范围是1mm-10cm。

要研究微波，让我们再次回忆电磁波的波长和频率的关系：

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

电磁波在真空中的传播速度为c=3.0x10^8m/s，是宇宙中最快的速度。

来看看这张图：

这张图描述了各频段在频谱中的位置。微波明显是在一个较高的频率，因此我们不再使用传统的电路理论去分析微波网络的工作（集总电路元件近似在微波频段不成立了），改为重新使用麦克斯韦方程组来分析。

info

实际电路的尺寸远小于其工作时最高工作频率所对应的波长，也即满足集总参数电路的条件，是电路分析的基本假设，称为集总假设。

微波元件通常是分布元件，元件的尺度与微波波长为同一数量级，其中电压或电流的相位在元件的物理尺度内不会发生明显变化。比如在低频电路中（如50Hz或kHz），导线长度远小于波长，可认为整段导线上电压/电流是“同相”的。

在极低的频率下，波长会大到足以使相位在各整个元件的线性范围内无明显变化。

频率的另一端称为光学工程，此时波长要比元件的尺度短得多。在这种情形下，麦克斯韦方程组可以简化为几何光学。而光学系统可用几何光学的理论来设计，这些技术有时也可以应用于毫米波系统，这时人们把他们称为准光学。

研究微波通常需要处理复杂的场理论解。但是，实际应用不需要太多方程组附带的信息，我们更关心的是终端的量，比如功率，阻抗，电压，电流，等等。

1.1.1 微波工程应用

我们将要在哪里应用微波？除了极前沿的领域，一些有相对成熟应用的领域是：无线通信、无线安全、雷达、遥感，甚至是医学。

微波的研究是很复杂的，但是因为这些原因，我们在上述领域中仍然愿意使用微波：

1. 天线增益与天线电尺寸成比例，较高的频率下给定的天线尺寸有可能得到较高的增益。我们可以用此制作各种尺寸尤其是小尺寸的微波装备。
2. 无线通信的带宽正在被耗尽，而高频往往能实现较高的带宽，这是一种资源利用和储备。
3. 微波信号是按视线传播的，这是有趣的地方，也是有用的地方，意味着我们能够通过在最近距离的地点做频率复用，实现大容量的卫星-地面通信。
4. 雷达目标的有效反射面积总是与目标的电尺寸成比例。结合天线增益的结论，我们可以将微波频率应用在雷达系统上面，事实上它总是首选。
5. 各种分子和原子、原子核的谐振都发生在微波频率下。我们知道谐振是一种能量高效吸收的现象，所以微波频率在医疗器械领域具有独特的意义。

1.1.2 微波工程简史

微波工程的发展可按时间轴简要梳理如下：

19世纪中后期：麦克斯韦建立电磁场理论，预言电磁波存在；赫兹通过实验首次证实电磁波，为微波技术奠定理论基础。

20世纪30–40年代：二战推动雷达系统快速发展，速调管、磁控管等微波真空器件相继问世，微波工程作为独立领域初步形成。

1940–1950年代：波导、谐振腔、定向耦合器等无源微波元件被系统研究；微波网络理论和S参数体系逐步建立。

1960–1970年代：微波固态器件（如耿氏二极管、IMPATT二极管）出现；微带线等平面传输结构推动微波集成电路（MIC）发展。

1980–1990年代：单片微波集成电路（MMIC）兴起，砷化镓（GaAs）工艺成熟，广泛应用于通信与雷达。

2000年代至今：CMOS工艺进入射频/微波频段，5G、卫星通信、汽车雷达、物联网等应用驱动高频、宽带、小型化微波系统快速发展；计算电磁学与电磁仿真工具（如HFSS、CST）成为设计核心。

1.2 麦克斯韦方程组

在博客的其他诸如《电磁场与电磁波》的章节，可能已经介绍过了麦克斯韦方程组，那么我们快速介绍一下这四个方程：

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} - \mathbf{M} \tag{1.1a}$$$$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathcal{J} \tag{1.1b}$$$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \tag{1.1c}$$$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \tag{1.1d}$$

1. 高斯定律表明电场的散度正比于局部电荷密度。换句话说：电荷是电场的源。有正电荷的地方，电场线“发散”出来；有负电荷的地方，电场线“汇聚”进去。

2. 高斯磁定律说明磁场没有“磁荷”（即不存在孤立的磁单极子）。磁场线总是闭合的——磁场无源无汇。

3. 法拉第电磁感应定律揭示了变化的磁场会感生涡旋电场。这是发电机、变压器等电磁设备的工作原理基础。

4. 原始安培定律只包含电流项，但麦克斯韦补充了位移电流项, 表明变化的电场也能产生磁场。这一修正使方程组能预言电磁波的存在。

研究微波的过程中，我们将花很大的篇幅去讨论平面波，它是一种最简单的电磁波。

tip

平面波（plane wave）是一种波动，其波阵面（在任何时刻，波相位相等的每一点所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。

平面波也时常用来形容：在空间的一个局部区域里，近似于平面波的波动。

warning

本书采用国际单位制，即米·千克·秒单位制。黑斜书写体表示时变向量场，它们是空间坐标 $x, y, z$ 和时间变量 $t$ 的实函数。

这些量定义如下：

• $\mathbf{E}$ 表示电场强度，单位为 $\text{V/m}$
• $\mathbf{H}$ 表示磁场强度，单位为 $\text{A/m}$
• $\mathbf{D}$ 表示位移向量，单位为 $\text{C/m}^2$（电通量密度）
• $\mathbf{B}$ 表示磁感应强度，单位为 $\text{Wb/m}^2$（磁通量密度）
• $\mathbf{M}$ 表示（虚拟的）磁流密度，单位为 $\text{V/m}^2$
• $\mathcal{J}$ 表示电流密度，单位为 $\text{A/m}^2$
• $\rho$ 表示电荷密度，单位为 $\text{C/m}^3$

电磁场的源是磁流 $\mathbf{M}$、电流 $\mathcal{J}$ 和电荷密度 $\rho$。磁流 $\mathbf{M}$ 是虚拟的源，它是为数学上的方便引入的；磁流的真实源通常是一个电流环或类似的磁偶极子，而不是实际的磁荷流（单极磁荷是不存在的）。这里引入磁流是为了保持完整性，在第4章中处理孔径问题时会用到它。因为电流是电荷的真实流动，所以可以说电荷密度 $\rho$ 是电磁场最根本的源。

在真空中，电场强度、磁场强度与其通量密度之间存在如下的简单关系：

$$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} \tag{1.2a}$$$$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} \tag{1.2b}$$

式中，$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$ 是真空磁导率，$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\text{F/m}$ 是真空介电常数。下一节中将介绍非真空的其他媒质是如何影响这些结构关系的。

tip

你可能需要知道：

散度（divergence）是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。

旋度（curl）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。

如果你看不懂它们的定义，你可以询问扣子或者直接看...

要理解散度（Divergence）和旋度（Curl），我们可以用水流/风场这样的日常场景做类比——它们都是描述「向量场」（比如每一点都有速度方向的水流）局部特征的工具，但关注的是完全不同的性质。

一、散度：「源头/漏斗」的强度

散度回答的问题是：向量场在某一点，是「向外扩散」还是「向内汇聚」？

我们可以想象一个透明的小立方体（比如橡皮擦大小），把它放进水流里：

• 如果立方体里的水净流出（流出的水比流入的多），说明这一点是「源」（比如水龙头喷水口），散度为正；
• 如果水净流入（流入比流出多），说明这一点是「汇」（比如下水道入口），散度为负；
• 如果流入流出的水一样多（比如匀速流动的河中央，水只是「穿过」立方体，没有增减），散度为零。

通俗总结：
散度是「单位体积内的净流出量」，本质是个标量（只有大小，没有方向）。它像一个「流量检测器」，告诉你向量场在某点是「往外冒东西」还是「往回吸东西」。

二、旋度：「旋转的劲儿」有多大

旋度回答的问题是：向量场在某一点，有没有「绕着转」的趋势？

我们可以用一个微型风车（比如儿童玩具风车）做类比：把风车放进水流/风场里：

• 如果风车快速旋转（比如龙卷风中心附近，风绕着中心打圈），说明这一点旋度大；
• 如果风车慢慢转（比如微风绕着柱子吹），旋度小；
• 如果风车不转（比如均匀的风从东吹到西，风车只会被吹走，不会旋转），旋度为零。

关于方向的补充：
旋度是向量（有大小和方向），它的方向用「右手定则」判断——比如风车逆时针转，你用右手四指顺着旋转方向握拳，拇指指的方向就是旋度的方向（比如向上）；如果顺时针转，拇指方向向下。

三、一句话区分散度和旋度

概念	核心问题	性质	日常例子
散度	是「扩散」还是「汇聚」？	标量	水龙头（正散度）、下水道（负散度）
旋度	有没有「绕着转」的趋势？	向量	龙卷风（大旋度）、匀速风（零旋度）

四、综合例子：更直观的对比

• 喷泉：喷口处散度很大（水拼命往外喷），但旋度很小（水直上直下，不怎么转）；
• 龙卷风：中心附近旋度很大（风疯狂绕圈），但散度接近零（没有净的扩散/汇聚，只是在转圈）；
• 平静的湖面：大部分区域散度和旋度都接近零（没有扩散，也没有旋转）。

如果用公式「翻译」通俗理解：

散度是一个标量场，表示向量场在某一点的"源"强度：

$$\text{div}\ \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

物理意义：计算三个方向的"变化率之和"，反映是否有净流出。

旋度是一个向量场，表示向量场在某一点的旋转程度：

$$\text{curl}\ \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$

物理意义：计算三个方向的"旋转趋势差"，反映是否有转圈的劲儿。

式(1.1a)～式(1.1d)是线性的，但不是彼此无关的。例如，考虑式(1.1a)中的散度。因为任何向量的旋度的散度都是零，所以有

$$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{E} = 0 = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla \cdot \mathbf{M}$$

因为不存在自由磁荷，所以 $\nabla \cdot \mathbf{M} = 0$，这又导致 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 或式(1.1d)。类似地，连续性方程可通过取式(1.1b)的散度得出，即

$$\nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \tag{1.3}$$

其中用到了式(1.1c)。这个方程表明电荷是守恒的，或者说电流是连续的，因为 $\nabla \cdot \mathbf{J}$ 代表从一点流出的电流，而 $\partial \rho / \partial t$ 代表在同一点同一时间形成的电荷。正是这一结果让麦克斯韦得出式(1.1b)中的位移电流密度 $\partial \mathbf{D} / \partial t$ 非常必要的结论，它可视为对方程求散度。

上述微分方程可用各种向量积分定理转化为积分形式。因此，对式(1.1c)和式(1.1d)应用散度定理得

$$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = \int_V \rho dv = Q \tag{1.4}$$$$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0 \tag{1.5}$$

我们可能会提到斯托克斯定理，实际上它也被称为旋度定理。

info

散度定理（又称高斯定理）建立了向量场通过闭合曲面的通量与该曲面所包围体积内散度的体积分之间的关系：

$$\oiint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV$$

物理意义：

• 左边：向量场 $\mathbf{F}$ 通过闭合曲面 $S$ 的净通量
• 右边：向量场 $\mathbf{F}$ 在体积 $V$ 内所有点的散度之和
• 表明：从闭合曲面流出的净通量等于该曲面所包围体积内场的"源"的总和

斯托克斯定理建立了向量场沿闭合曲线的环量与该曲线所张曲面上的旋度的曲面积分之间的关系：

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

物理意义：

• 左边：向量场 $\mathbf{F}$ 沿闭合曲线 $C$ 的环量
• 右边：向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度在曲面 $S$ 上的通量
• 表明：场的旋转特性在边界上的表现与在整个区域内的表现一致

几何关系上：

• 散度定理： 涉及三维空间中的体积 $V$ 和其边界曲面 $S$
• 斯托克斯定理： 涉及三维空间中的曲面 $S$ 和其边界曲线 $C$

式(1.4)中的 $Q$ 代表封闭体积 $V$（封闭表面 $S$ 包围的体积）内的总电荷。对式(1.1a)应用旋度定理得

$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{\partial}{\partial t} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} - \int_S \mathbf{M} \cdot d\mathbf{s} \tag{1.6}$$

没有 $\mathbf{M}$ 项时，它是常见的法拉第定律，是形成基尔霍夫电压定律的基础。在式(1.6)中，$C$ 代表如图1.3所示的围绕表面 $S$ 的封闭周线。安培定律可由式(1.1b)应用斯托克斯定理导出：

$$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \frac{\partial}{\partial t} \int_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} + \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} = \frac{\partial}{\partial t} \int_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} + I \tag{1.7}$$

式中，$I = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$ 是流过表面 $S$ 的总电流。式(1.4)～式(1.7)是麦克斯韦方程组的积分形式。

图1.3 与法拉第定律有关的封闭周线 $C$ 和表面 $S$ 其相量形式为

$$E(x, y, z) = \mathbf{x}A(x, y, z)e^{j\omega t}$$

式中，$A$ 是（实）振幅，$\omega$ 是圆频率，$\phi$ 是波在 $t=0$ 时的相位参考。本书中假定使用余弦基相量，因此从相量到实时变量的转换是将相量乘以 $e^{j\omega t}$，然后取其实部来实现的：

$$\mathbf{E}(x, y, z, t) = \text{Re} \left\{ E(x, y, z)e^{j\omega t} \right\} \tag{1.10}$$

将式(1.9)代入式(1.10)得到式(1.8)。采用相量工作时，习惯上所有量中将公共因子 $e^{j\omega t}$ 略去。

处理功率和能量时，我们通常对二次量的时间平均感兴趣。它很容易用时谐场来求解。例如，

$$\mathcal{E} = \mathbf{x}E_1 \cos(\omega t + \phi_1) + \mathbf{y}E_2 \cos(\omega t + \phi_2) + \mathbf{z}E_3 \cos(\omega t + \phi_3) \tag{1.11}$$

给出的电场，其相量形式为

$$E = \mathbf{x}E_1 e^{j\phi_1} + \mathbf{y}E_2 e^{j\phi_2} + \mathbf{z}E_3 e^{j\phi_3} \tag{1.12}$$

其振幅的平方的时间平均值计算如下：

$$\begin{aligned} \left| \mathcal{E} \right|^2_{\text{avg}} &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathcal{E} \cdot \mathcal{E} dt \\ &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [E_1^2 \cos^2 (\omega t + \phi_1) + E_2^2 \cos^2 (\omega t + \phi_2) + E_3^2 \cos^2 (\omega t + \phi_3)] dt \\ &= \frac{1}{2} (E_1^2 + E_2^2 + E_3^2) = \frac{1}{2} |E|^2 \\ &= \frac{1}{2} E \cdot E^* \end{aligned} \tag{1.13}$$

于是，其均方根值为 $\left| \mathcal{E} \right|_{\text{rms}} = |E| / \sqrt{2}$。

在时间依赖关系 $e^{j\omega t}$ 的假设下，式(1.1a)～式(1.1d)中的时间导数可用 $j\omega$ 来代替。相量形式的麦克斯韦方程组变成

$$\nabla \times \mathbf{E} = -j\omega \mathbf{B} - \mathbf{M} \tag{1.14a}$$$$\nabla \times \mathbf{H} = j\omega \mathbf{D} + \mathbf{J} \tag{1.14b}$$$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \tag{1.14c}$$$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \tag{1.14d}$$

傅里叶变换可将任意频率 $\omega$ 处的麦克斯韦方程组的解转换为任意时间依赖关系的解。

式(1.14)中的电流源和磁流源是体流密度，即 $\mathbf{J}$ 和 $\mathbf{M}$，单位分别为 $\text{A/m}^2$ 和 $\text{V/m}^2$。然而，在很多情况下，实际的电流和磁流是片状的、线状的或无限小的偶极子。这些特定类型的电流分布可以通过 $\delta$ 函数写成体流密度。图1.4给出了一些如何处理电流和磁流的例子。

info

在电磁学里，有两种偶极子（英语：Dipole）：

• 电偶极子是两个分隔一段距离，电量相等，正负相反的电荷。
• 磁偶极子是一圈封闭循环的电流。例如一个有常定电流运行的线圈。

偶极子的性质可以用它的偶极矩描述。

电偶极矩（$\mathbf{p}$）由负电荷指向正电荷，大小等于正电荷量乘以正负电荷之间的距离。磁偶极矩（ $\mathbf{m}$）的方向，根据右手法则，是大拇指从载流回路的平面指出的方向，而其它手指则指向电流运行方向，磁偶极矩的大小等于电流乘以线圈面积。

1.3 媒质中的场和边界条件

上一节假设电场和磁场都在真空中，而且没有材料实体。实际上，材料实体通常是存在的；这就使得分析更为复杂，但也可将材料特性应用于微波元件。材料媒质中存在电磁场时，场向量是通过本构关系相互联系的。

info

本构关系（Constitutive Relation/Equation）是描述特定材料（或介质）在外界激励下的响应特性的数学关系，是连接 “外界作用” 与 “材料内部状态变化” 的核心桥梁。

对于电介质材料，外加电场 $E$ 使材料的原子或分子产生极化，进而导致电偶极矩，它增大了总的位移通量 $D$。这个附加的极化向量称为电极化强度 $P_e$，其中，

info

极化（Polarization）是中性物质在外场（主要是电场）作用下，内部电荷（或偶极子）发生有序重排，导致物质整体或局部呈现 “电极性” 的物理过程。它是电磁学、材料科学中描述电介质响应外电场的核心概念，本质是 **“无序→有序” 的电荷重排 **，最终使中性介质产生 “附加电场” 或 “宏观电偶极矩”

$$D = \epsilon_0 E + P_e$$

在线性媒质中，电极化强度与外加电场呈线性关系，即

$$P_e = \epsilon_0 \chi_e E$$

式中，$\chi_e$ 称为电极化率，它可能是复数。于是有

$$D = \epsilon_0 E + P_e = \epsilon_0 (1 + \chi_e) E = \epsilon E$$

式中，

$$\epsilon = \epsilon' - j \epsilon'' = \epsilon_0 (1 + \chi_e)$$

是媒质的复合电常数。$\epsilon$ 的虚部是电介质中偶极子振动阻尼产生的热损耗。真空中的 $\epsilon$ 是实数，它是无耗的。由于能量守恒，如 1.6 节所述，$\epsilon$ 的虚部必须为负值（$\epsilon''$ 为正值）。介电材料的损耗还可以考虑有一个等效的导体损耗。在电导率为 $\sigma$ 的材料中，传导电流密度为

$$J = \sigma E$$

从电磁场的观点来看，这就是欧姆定律。这样，关于 $H$ 的麦克斯韦旋度方程(1.14b)变成

$$\begin{aligned} \nabla \times H &= j \omega D + J \\ &= j \omega \epsilon E + \sigma E \\ &= j \omega \epsilon' E + (\omega \epsilon'' + \sigma) E \\ &= j \omega \left( \epsilon' - j \epsilon'' - j \frac{\sigma}{\omega} \right) E \end{aligned}$$

从中可以看出，由介电阻 $( \omega \epsilon'' )$ 引起的损耗与导电损耗 $(\sigma)$ 不同。$\omega \epsilon'' + \sigma$ 可视为总有效电导率。感兴趣的有关量是损耗角正切，它定义为

$$\tan \delta = \frac{\omega \epsilon'' + \sigma}{\omega \epsilon'}$$

它可视为总位移电流的实部与虚部之比。微波材料总用实介电常数 $\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0$ 和一定频率下的损耗角正切来表征。附录 G 中列出了一些典型材料的这些常数值。注意，在无耗假设下求得问题的解后，损耗很容易用复数 $\epsilon = \epsilon' - j \epsilon'' = \epsilon (1 - j \tan \delta) = \epsilon_0 \epsilon_r (1 - j \tan \delta)$ 取代实数来引入，这一点很有用。

上述讨论中假设 $P_e$ 是与 $E$ 同方向的向量。这种材料称为各向同性材料，但并非所有材料都具有这种特性。有些材料是各向异性的，它们用 $P_e$ 和 $E$ 或 $D$ 和 $E$ 之间更复杂的关系来表达。这些向量之间的最一般的线性关系取一阶张量的形式，可以用矩阵形式表示为

$$\begin{bmatrix} D_x \\ D_y \\ D_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} = \epsilon \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix} \tag{1.22}$$

由此可以看出，电场向量 $E$ 的一个给定分量一般会引起 $D$ 的三个分量。晶体结构和离子化的气体是各向异性介质的例子。对于各向同性的线性材料，式(1.22)中矩阵将简化为只有元素 $\epsilon$ 的对角阵。

类似的情形也出现在磁材料中，外加磁场可能使磁材料中的磁偶极子有序排列，产生磁极化（或磁化）向量 $P_m$。于是有

$$B = \mu_0 (H + P_m) \tag{1.23}$$

对于线性磁材料，$P_m$ 是与 $H$ 线性相关的，即

$$P_m = \chi_m H \tag{1.24}$$

式中，$\chi_m$ 是磁极化率，它是一个复数。由式(1.23)和式(1.24)得

$$B = \mu_0 (1 + \chi_m) H = \mu H \tag{1.25}$$

式中，$\mu = \mu_0 (1 + \chi_m) = \mu' - j \mu''$ 是媒质的磁导率。同样，$\chi_m$ 或 $\mu$ 的虚部被认为是阻尼力引起的损耗；这里没有磁导率，因为不存在实际的磁流。与电的情况一样，磁材料可能是各向异性的，在这种情况下，张量磁导率写为

$$\begin{bmatrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\ \mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\ \mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} H_x \\ H_y \\ H_z \end{bmatrix} = \mu \begin{bmatrix} H_x \\ H_y \\ H_z \end{bmatrix} \tag{1.26}$$

微波工程中各向异性磁材料的一个重要例子是称为铁氧体的亚铁磁类材料，这类材料及其应用将在第9章中讨论。

若有线性媒质（$\epsilon$ 和 $\mu$ 不依赖于 $E$ 或 $H$），则麦克斯韦方程组可写为相量形式：

$$\nabla \times E = -j \omega \mu H - M \tag{1.27a}$$$$\nabla \times H = j \omega \epsilon E + J \tag{1.27b}$$$$\nabla \cdot D = \rho \tag{1.27c}$$$$\nabla \cdot B = 0 \tag{1.27d}$$

本构关系为

$$D = \epsilon E \tag{1.28a}$$$$B = \mu H \tag{1.28b}$$

式中，$\epsilon$ 和 $\mu$ 可能是复数，也可能是张量。注意，类似于式(1.28a)和式(1.28b)的关系式一般不能写成时域形式，即便是对于线性媒质，因为在 $D$ 和 $E$ 或 $B$ 和 $H$ 之间可能存在相移。相量表达式通过 $\epsilon$ 和 $\mu$ 的复数形式已考虑了这一相移。

微分形式的麦克斯韦方程组(1.27a)～(1.27d)必须已知边界上的值时才能有完整和唯一的解。本书所用的一般方法是首先在一定的区域求解无源的麦克斯韦方程组，得到带有未知系数的通解，然后利用边界条件来求这些系数。一系列特定的边界条件将在后面讨论。

1.3.1 一般材料分界面上的场

1.3.2 介质分界面上的场

1.3.3 理想导体（电壁）分界面上的场

1.3.4 磁壁边界条件

1.3.5 辐射条件

1.4 波方程和基本平面波的解

1.4.1 亥姆霍兹方程

1.4.2 无耗媒质中的平面波

1.4.3 一般有耗媒质中的平面波

1.4.4 良导体中的平面波

1.5 平面波的通解

1.5.1 圆极化平面波

1.6 能量和功率

1.6.1 良导体吸收的功率

1.7 媒质分界面上的平面波反射

1.7.1 普通媒质

1.7.2 无耗媒质

1.7.3 良导体

1.7.4 理想导体

1.7.5表面阻抗概念

1.8 斜入射到一个介电界面

1.8.1平行极化

1.8.2垂直极化

1.8.3全反射和表面波

1.9一些有用的定理

1.9.1互易定理

1.9.2镜像理论