信号与系统的时域和频域特性

6.0 引言

首先，复习一下LTI系统的描述方法：

1. 时域特性（卷积）
2. 频域特性（系统频率响应）

在系统的分析和设计中，需要将时域和频域特性联系起来并给以权衡考虑。

info

为什么说同时考虑时域和频域特性呢？

6.1 傅立叶变换的模和相位表示

复习一下信号$x(t)$的傅里叶变换：

$$X(j\omega) = |X(j\omega)|e^{j∠X(j\omega)}$$

$|X(j\omega)|$：幅度频谱

$∠X(j\omega)$：相位频谱

是幅度重要还是相位重要？

tip

大多数情况下，幅度重要。

如果幅值已经接近0，相位改变多少都没有用。

但针对具体问题还是需要具体分析。

假如有

$$x(t)=1+\frac{1}{2}cos(2\pi t+\Phi_1)+cos(4\pi t+\Phi_2)+\frac{2}{3}cos(6\pi t+\Phi_3)$$

绘制该信号：

t = 0:0.01:10;
x = 1 + 0.5*cos(2*pi*t) + cos(4*pi*t) + 2/3*cos(6*pi*t);
plot(t,x);
grid on;
xlabel('t');
ylabel('x(t)');
title('信号x(t)');

对于复杂图像，相位会更重要。比如在边缘检测里面，都是在相位图上做的。

分析幅频和相频都可以化为看图问题。

6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示

系统特性：

冲激响应：

$$h(t) \Leftrightarrow H(j\omega) = |H(j\omega)|e^{j∠H(j\omega)}$$

频率响应：

$$H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$$

将$H(jw)$进行Fourier逆变换可以得到$h(t)$。

幅度响应：

$$|H(j\omega)|$$

相位响应：

$$∠H(j\omega)$$

warning

某LTI 系统的幅频响应和相频响应如图所示。

若系统的激励为：

$$x(t)=2+cos(5 t)+4cos(10 t)$$

求系统的响应。

点击查看答案

看图，回忆公式：

$$H(j\omega) = |H(j\omega)|e^{j∠H(j\omega)}$$

将$x(t)$转换为傅立叶级数的形式：

$$x(t) = 2+\frac{4}{2}(e^{j5t}+e^{-j5t})+\frac{4}{2}(e^{j10t}+e^{-j10t})$$

根据特征函数特征值的概念：

$$y(t)=2H(0)+2(H(j5)e^{j5t}+H(-j5)e^{-j5t})+2(H(j10)e^{j10t}+H(-j10)e^{-j10t})$$$$H(0)=1$$$$H(j5)=\frac{1}{2e^{-j\frac{\pi}{2}}}$$$$H(-j5)=\frac{1}{2e^{j\frac{\pi}{2}}}$$$$H(j10)=0$$$$H(-j10)=0$$$$y(t)=2+e^{-j\frac{\pi}{2}}e^{j5t}+e^{j\frac{\pi}{2}}e^{-j5t}$$

故：

$$=2+e^{j(5t-\frac{\pi}{2})}+e^{j(5t+\frac{\pi}{2})}$$

6.2.1 线性和非线性相位（Linear and Nonlinear Phase）

线性相位:

$$∠H(j\omega) = k\omega$$

非线性相位:

$$∠H(j\omega) = Nonlinear function$$

Example:

$$y(t)=x(t-t_0)$$$$H(j\omega) = e^{-j\omega}$$$$∠H(j\omega)=-\omega t_0 (Linear Phase)$$

效果: 线性相位意味着信号传输无失真。

6.2.2 群时延（Group Delay）

定义：

$$τ(\omega) = \frac{d}{d\omega} ∠H(j\omega)$$

Example:

$$y(t)=x(t-t_0)$$$$H(j\omega) = e^{-j\omega}$$$$∠H(j\omega)=-\omega t_0$$$$τ(\omega)=t_0 (signal delay)$$

6.2.3 对数模和波特图（Log-Magnitude and Bod Plots）

幅度频谱:

$$|H(j\omega)|-\omega$$$$20log_10|H(j\omega)|-log_10{\omega}$$

相位频谱:

$$∠H(j\omega) - \omega$$$$∠H(j\omega) - log_10{\omega}$$

波特图举例：

warning

例：对如下系统的频率响应，绘制出波特图的直线近似。

$$H(j\omega)=40\frac{j\omega+0.1}{j\omega+40}$$

解：

$$20lg|H(j\omega)| = 20lg40 +20lg|(j\omega+0.1)|-20|(j\omega+40)|$$$$20lg|H(j\omega)| = \begin{cases} -20 & \omega << 0.1 \\ 20lg\omega & 0.1 << \omega << 40 \\ 32 & \omega >> 40 \end{cases}$$

6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性

(1)低通滤波器：

1. 连续时间：

$$H(j\omega)=\begin{cases} 1 & |\omega| \leq \omega_c \\ 0 & |\omega| > \omega_c \end{cases}$$$$h(t)=\frac{sin(\omega_c t)}{\pi t}$$

2. 离散时间：

$$H(j\omega)=\begin{cases} 1 & |\omega| \leq \omega_c \\ 0 & |\omega|< \omega_c \leq \pi \end{cases}$$$$h[n]=\frac{sin(\omega_c n)}{\pi n}$$

6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论

低通滤波器的基本参数: