采样

采样有多重要？非常重要，超级重要，信号与系统这本屠龙术能不能修成就看这一章。

采样定理为什么重要？它建立了连续时间信号和离散时间信号之间的桥梁。

在一定条件下，一个连续时间信号可以被它的样本完全重建出来。这意味着即使我们没法用物理器件测量出真正的连续时间信号，我们也能通过采样来重建它。

这样就可以大大节省成本，用到工业界上。

7.1 采样定理

信号可能是非常随机的，所以你不能用仅有的一小段等间隔的样本来唯一确定信号。

在下图中，三个不同的连续时间信号都在T的整倍数处具有相同的值：

我们可以用数学语言描述：

$$x_1(kT) = x_2(kT) = x_3(kT)$$

当你想到用这一组样本值去重建出一个完整信号时，不难想象你可能会发现有无穷多的信号都可以产生这一组样本值。

但如果一个信号是带限的，这些样本值就能被唯一地表征出来，可以重建出一个唯一的信号。

info

这就是采样定理：

设 $x(t)$ 是某一个带限信号，在 $|\omega| > \omega_M$ 时，$X(j\omega) = 0$。如果 $\omega_s > 2\omega_M$，其中 $\omega_s = 2\pi/T$，那么 $x(t)$ 就唯一地由其样本 $x(nT),\; n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ 所确定。

已知这些样本值，我们能用如下办法重建 $x(t)$：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为 $T$，截止频率大于 $\omega_M$ 而小于 $\omega_s - \omega_M$ 的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是 $x(t)$。

可能有些云里雾里，不要紧，我们将一步步按书推导：

7.1.1 冲激串采样

还记得第一章中提到的冲激函数的采样性质吗？

冲激串采样，指的是通过冲激串去乘算待采样的连续时间信号$x(t)$。此时周期性的冲激串函数是采样函数，在数学上，得到的采样信号原信号在离散时间点上的瞬时值序列。

这具体是怎么做的呢？请看：

首先定义采样函数冲激串$p(t)$，它应当是一个周期性的函数，周期为T。不难得出其基波频率是$p(t)=2\frac{\pi}{T}$(又被称为采样频率)。

在时域中，采样信号：

$$x_p(t) = x(t) p(t) \tag{7.1}$$

而

$$p(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) \tag{7.2}$$

回忆一下，冲激函数的采样性质是由以下积分公式描述：

基本形式：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) \, dt = f(0)$$

广义形式（采样点位于 $t_0$）：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0)$$

其中 $\delta(t)$ 是单位冲激函数，$f(t)$ 是连续函数。该性质表明：一个连续函数与冲激函数相乘后的无穷积分，等于该函数在冲激发生时刻的函数值。这正是“采样”的本质——提取单点的瞬时值。

所以容易得：

$$x_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT)\delta(t-nT) \tag{7.3}$$

频域卷积关系：

$$X_p(j\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\theta)P(j(\omega - \theta))\,d\theta \tag{7.4}$$

卷积移位性质（冲激函数与频谱的卷积）：

$$X(j\omega) * \delta(\omega - \omega_0) = X(j(\omega - \omega_0))\tag{7.5}$$

采样后频谱的周期延拓：

$$X_p(j\omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(j(\omega - k\omega_s)) \tag{7.6}$$

其中 $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$ 为采样角频率。

式7.6表示了$X_p(j\omega)$是关于频率$\omega$的周期函数，由一组移位的$X(j\omega)$组成。幅度上标以$\frac{1}{T}$的变化。

由于$\omega_M < (\omega_s - \omega_M)$，或者$\omega_s > 2\omega_M$，所以在移位的$X(j\omega)$并没有重叠现象出现，

但是如果$\omega_s < 2\omega_M$，那么它就会像最后一幅图那样，存在重叠现象，此时需要一个低通滤波器来重建信号。

这个低通滤波器的周期为$T$，截止频率大于$\omega_M$小于$\omega_s-\omega_M$。

这就是采样定理！现在你可以回去看看采样定理的详细定义。

采样频率必须大于等于$2\omega_M$，才能确保信号的唯一性。这个频率，称为奈奎斯特频率。

一般不使用理想的低通滤波器，使用一个非理想的滤波器来替代，只要频率特性够接近那么就可以用。这里需要考量能够接受的信号失真程度。

书中为了方便，继续使用理想滤波器来描述。

7.1.2 零阶保持采样

产生一个冲激信号是比较困难的，工业界往往使用零阶保持采样产生采样信号。

给定一个瞬时对$x(t)$的采样，并保持这个信号值直到下次采样结束为止。

由一个零阶保持的系统的输出仍然可以用低通滤波的方法实现。此时要求的滤波器不再是通带内具有恒定的增益。

我们需要重新确定滤波器的特性。怎么确定？

零阶保持的输出$x_0(t)$可以被冲激串采样，紧接着一个线性时不变系统（具有矩形的单位冲激响应）。

这个线性时不变系统怎么得到？设我们期望的重建信号为$r(t)$，实际重建信号为$x(t)$，目标是使得$r(t)=x(t)$。

设该系统的单位冲激响应为$h_r(t)$，频率响应为$H_r(j\omega)$，

将 $p(t)$ 向右平移 $T/2$ 得到 $h_0(t)$

$$h_0(t) = p\!\left(t - \frac{T}{2}\right)$$

应用时移性质：$\mathcal{F}\{x(t-t_0)\} = e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$，得

$$H_0(j\omega) = e^{-j\omega (T/2)} \cdot P(j\omega)$$

代入 $P(j\omega)$即得

$$\boxed{H_0(j\omega) = e^{-j\omega T/2} \cdot \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}}$$

要求：

$$H_r(j\omega) = \frac{e^{j\omega\frac{T}{2}}H(j\omega)}{\frac{2sin(\omega T/2)}{\omega}}$$

如果$H(j\omega)$的截止频率为$\omega_s/2$，则紧跟在零阶保持系统后的滤波器如图所示：

它不可能实现，只能尽量近似。

但事实上很多情况不太需要用低通滤波。零阶保持采样本身就是一个对原信号的近似。

7.2 利用内插重建信号

内插是用一组连续信号对一组样本值的拟合。