电容物理基础

5.1 电容中的电流流动

任意两个导体间的电容量本质上是对两个导体在一定电压下存储电荷能力的度量。

如果给两个导体分别加上正电荷和负电荷，则两个导体间就会存在电压。

这一对导体的电容量就是单个导体上所存储的电荷量与导体间电压的比值：

$$C = \frac{Q}{V} \tag{5.1}$$

其中：

• $C$ 表示电容，法拉（F）
• $Q$ 表示总电荷数，库仑（C）
• $V$ 表示导体间电压，伏特（V）

两导体间的电容量取决于导体的几何结构和周围介质的材料属性，而与施加的电压完全无关。

即使两个导体之间没有直接的连接线（可能是两根不同的信号线），导体之间也总是有电容存在。在某些情况下，电流可以流经电容，这就引起了串扰和其他信号完整性问题。

只有当两个导体间的电压变化时，才可能有电流流经电容器。

流经电容器的电流可表示为：

$$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = C \frac{dV}{dt} \tag{5.2}$$

其中：

• $I$ 表示流过电容器的电流
• $\Delta Q$ 表示电容器上电荷的变化量
• $\Delta t$ 表示电荷变化经历的时间
• $C$ 表示容量
• $dV$ 表示导体间的电压变化
• $dt$ 表示电压变化经历的时间

当 $dV/dt$ 保持不变时，电容量越大，流过电容的电流就越大。在时域里，电容量越大，电容器的阻抗就越小。

tip

当导体间的电压变化时，电容也是对导体间的电流大小的度量。

5.2 球面电容

两导体间的实际电容与连接两导体的电力线的多少有关。两个导体离得越近，重叠的面积越大，两个导体间的电力线就越多，存储电荷的能力也就越强。

两个球面间的电容为：

$$C = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{r_b}{r_b - r} \tag{5.3}$$

其中：

• $C$：表示电容量
• $\varepsilon_0$：表示自由空间的介电常数，为 $0.089 \, \text{pF/cm}$ 或 $0.225 \, \text{pF/in}$
• $r_b$：表示内球面半径，单位为 $\text{in}$ 或 $\text{cm}$
• $r$：表示外球面半径，单位为 $\text{in}$ 或 $\text{cm}$

当外球面半径大于内球面半径的 10 倍时，球面电容可近似表示为：

$$C = 4\pi \times \varepsilon_r \times r \tag{5.4}$$

其中：

• $C$ 表示电容量，单位为 pF
• $\varepsilon_r$ 表示自由空间的介电常数，为 $0.089 \, \text{pF/cm}$ 或 $0.225 \, \text{pF/in}$
• $r$ 表示内球面半径，单位为 $\text{in}$ 或 $\text{cm}$

例如，球面半径为 $0.5\,\text{in}$，即直径为 $1\,\text{in}$。其电容量为 $C = 4\pi \times 0.225 \, \text{pF/in} \times 0.5 \, \text{in} = 1.8 \, \text{pF}$。
所以直径为 $1\,\text{in}$ 的球面的电容量约为 $2\,\text{pF}$。这是个经验法则。

tip

这个关系式说明相对于某表面（包括地球表面），空间中的任何孤立导体都有一些电容。这个电容量并不一定很小，而是有一个与直径相关的极小值。导体附近某个表面越近，它的电容就越大。

5.3 平行板近似

平行板近似是很常见的一种近似。如图5.2所示的两块平板，间距为$h$，总面积为$A$。它们之间为空气，电容量可表示为：

$$C = \varepsilon_0 \frac{A}{h} \tag{5.5}$$

其中：

• $C$ 表示电容量，单位为 $\text{pF}$
• $\varepsilon_0$ 表示自由空间的介电常数，为 $0.089 \, \text{pF/cm}$ 或 $0.225 \, \text{pF/in}$
• $A$ 表示平板的面积
• $h$ 表示平板间距

tip

这个关系式说明了电容器的一个重要几何特征：导体间距越大，电容量就越小；导体重叠面积越大，电容就越大。

除了几个例外，信号完整性中给出的关系式基本都是定义或者近似式。平行板近似就是一个近似，它假定平行板周围的边缘场是忽略不计的。平行板间距越小或板面积越大，近似就越好。对于边长为$w$的正方形平行板，$w/h$越大，近似就越准确。

一般来说，平行板近似有点低估了电容量，由于板周围边缘场的作用，实际电容要大于近似值。平行板间距等于其侧向尺寸时，它看起来就像是个立方体，这时两板间的实际电容量约等于平行板近似预测的电容量的两倍，这是个经验法则。也就是说当平行板间距与板宽相当时，板周围的边缘场产生的电容量与平行板近似预测的电容量相等。

5.4 介电常数

导体间的绝缘材料会增加它们之间的电容量，这一引起电容增大的材料特性称为相对介电常数，通常用希腊字母$\varepsilon$加下标$r$（即$\varepsilon_r$）来表示。它是相对于空气（其介电常数为1）的介电常数。所以作为一个比值，它没有单位。通常都省略掉“相对”这个词，简称为介电常数。

介电常数是绝缘材料的固有特性，一小块环氧树脂和一大块环氧树脂的介电常数是相同的。绝缘材料介电常数的度量方法是：比较一对导体被空气包围时的电容量$C_0$和被绝缘材料包围时的电容量$C$，定义如下：

$$\varepsilon_r = \frac{C}{C_0}$$

其中：

• $\varepsilon_r$ 表示材料的相对介电常数
• $C$ 表示导体被绝缘材料包围时的电容
• $C_0$ 表示导体被空气包围时的电容

介电常数越大，导体间的电容量的增加就越大。如果在导体周围的空间中均匀填充绝缘材料，则介电常数会使得导体间的电容量增大，这与导体的形状（不管是平行板、两根圆杆，还是邻近宽平面的导体）完全无关。

材料的介电常数大致与偶极子数和偶极子的方向有关。材料分子的偶极子数越多，则介电常数就越大，例如水，其介电常数大于80。若材料的偶极子数很少，则介电常数就很小，如空气的介电常数为1。同质固体材料中最低的介电常数约为2，如特氟纶（Teflon）。材料中添加空气可以降低其介电常数，如泡沫的介电常数接近1。相反，一些陶瓷，如钛酸钡，其介电常数达到了5000。

介电常数有时随频率而变化，例如，从1 kHz到10 MHz，FR4的介电常数就从4.8变化到4.4，然而从1 GHz到10 GHz，FR4的介电常数就非常稳定。FR4的介电常数准确的具体值与环氧树脂和玻璃的相对含量有关。为了消除不确定因素，有必要指明测量介电常数时的频率。

材料	介电常数
空气	1
特氟纶	2.1
聚乙烯	2.3
BCB材料	2.6
聚四氟乙烯	2.8
聚酰亚胺	3.4
GETEK材料	3.6~4.2
双马来酰亚胺	3.7~3.9
二噁烷玻璃	3.8
石英	4
杜邦卡普顿	4
FR4玻璃纤维板	4~4.5
玻璃陶瓷	5
钻石	5.7
氧化铝	9~10
钛酸钡	5000

5.5 电源、地平面和去耦电容

平行板近似最重要的一个应用就是分析IC或多层印制电路板中电源和地平面间的电容量。

tip

为了减小电源分布系统中的电压轨道塌陷，就要在电源和地之间加上多个去耦电容。

在一定时间$\delta t$内，电容$C$可以阻止电源电压的下降。如果芯片的功率损耗为$P$，则由于去耦电容的作用，电压的下降量达到电源电压5%时的时间近似为：

$$\delta t = C \times 0.05 \times \frac{V^2}{P} \tag{5.7}$$

其中：

• $\delta t$ 表示电压下降量达到电源电压的5%时的时间，单位为s
• $C$ 表示去耦电容量，单位为F
• $0.05$ 表示允许的5%的电压下降量
• $P$ 表示芯片的平均功率损耗，单位为W
• $V$ 表示电源电压，单位为V

例如，若芯片的功耗是1W，去耦电容是1nF，电源电压是3.3V，则电容提供的去耦时间$\delta t = 1\,\text{nF} \times 0.05 \times 3.3^2 / 1 = 0.5\,\text{ns}$，这同要求的时间相比是不够的。

通常需要足够大的去耦电容来提供至少5$\mu$s的时间，直到电源调节器能提供足够的电流。对于这个例子，实际需要的去耦电容是1nF的10000倍，即10$\mu$F才能满足要求。

我们经常错误地认为电路板中的电源和地平面间的电容可以提供有效的去耦。通过平行板近似，可以估算出它们提供的去耦电容的大小和对芯片的去耦时间的长度。

在多层电路板中，电源平面和地平面是相邻的，于是就可以估计出这两个平面间每平方英寸面积的电容，如下所示：

$$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{h} \tag{5.8}$$

其中：

• $C$ 表示电容量，单位为pF
• $\varepsilon_0$ 表示自由空间的介电常数，为 $0.089 \, \text{pF/cm}$ 或 $0.225 \, \text{pF/in}$
• $\varepsilon_r$ 表示FR4的相对介电常数，典型值为4
• $A$ 表示平面的面积
• $h$ 表示平面间的距离